Khảo sát hàm số là một trong những dạng bài tập quan trọng, chiếm tỉ lệ khá nhiều trong đề thi THPT quốc gia. Vì vậy, các bạn phải học thật kĩ dạng này. Dưới đây sẽ là một số kiến thức cũng như ví dụ bài tập để các bạn có thể ôn luyện cách giải dạng bài “tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số…”
Tổng hợp một số kiến thức cơ bản về sự đồng biến và nghịch biến của hàm số
Lập bảng xét dấu của biểu thức P(x)
Bước 1. Tìm nghiệm của biểu thức P(x), hoặc tìm giá trị của x làm biểu thức P(x) không xác định.
Bước 2. Sắp xếp tất cả các giá trị của x tìm được thứ tự từ nhỏ đến lớn.
Bước 3. Sử dụng máy tính để tìm dấu của P(x) trên từng khoảng của bảng xét dấu.
Xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) trên một tập xác định
Bước 1. Tìm tập xác định D
Bước 2. Tính đạo hàm y’ = f'(x)
Bước 3. Tìm nghiệm của f'(x) hoặc các giá trị x làm cho f'(x) không xác định.
Bước 4. Lập bảng biến thiên.
Bước 5. Đưa ra kết luận.
Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y=f(x) đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a;b) cho trước
Cho hàm số y = f(x, m) có tập xác định D, khoảng (a; b) ⊂ D ta có:
– Hàm số nghịch biến trên (a; b) ⇔ y’ ≤ 0, với mọi x ∈ (a; b)
– Hàm số đồng biến trên (a; b) ⇔ y’ ≥ 0, với mọi x ∈ (a; b)
Chú ý: Với hàm số y = a1x+b1cx+d thì:
– Hàm số nghịch biến trên (a; b) ⇔ y’ < 0, với mọi x ∈ (a; b)
– Hàm số đồng biến trên (a; b) ⇔ y’ > 0, với mọi x ∈ (a; b)
Một số dạng bài tập: tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số…
Dưới đây sẽ là một số bài tập để bạn có thể luyện tập
Bài 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = mx-1m-2x-1 nghịch biến trên các khoảng xác định.
Lời giải:
Hàm số nghịch biến <=> y’< 0 <=> – m + (m – 2)(m-2x-1)2 < 0
<=> – 2(m-2x-1)2 < 0
Mà – 2 < 0 ; (m-2x-1)2 > 0 => – 2(m-2x-1)2 < 0 luôn đúng
Vậy m ∈ R thì hàm số y = mx-1m-2x-1 nghịch biến trên các khoảng xác định.
Bài 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x-1x-m đồng biến trên khoảng (-∞;0)?
Lời giải:
- Để hàm số đồng biến <=> y’> 0 <=> – m+1(x-m)2 > 0
<=> – m + 1 > 0
<=> m < 1 (1)
- Xét điều kiện của mẫu: x – m ≠ 0 <=> m ≠ x
=> m ≠ (-∞;0)
=> m ≥ 0 (2)
Từ (1) và (2) ta có 0 ≤ m < 1 thì hàm số y = x-1x-m đồng biến trên khoảng (-∞;0)
Bài 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x+3m-x đồng biến trên khoảng (2;+∞)?
Lời giải:
y = x+3m-x = x+3-x+m
- Hàm số đồng biến <=> y’> 0 <=> m+3(-x+m)2 <=> m + 3 > 0 => m > -3 (1)
- Xét điều kiện của mẫu: -x + m ≠ 0 => m ≠ x
Mà x ∈ (2;+∞) => m ≠ (2;+∞) => m ≤ 2 (2)
Từ (1) và (2) ta có -3 < m ≤ 2 thì hàm số y = x+3m-x đồng biến trên khoảng (2;+∞)
Bài 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = 2x-3x+m đồng biến trên khoảng (1;+∞)?
Lời giải:
- Hàm số đồng biến <=> 2m+3(x+m)2 > 0 <=> 2m + 3 > 0 => m > – 32 (1)
- Xét điều kiện của mẫu: x + m ≠ 0 => m ≠ – x
Mà x ∈ (1;+∞) dẫn đến – x ∈ (-∞; -1)
=>m ≠ (-∞; -1) => m ≥ -1 (2)
Từ (1) và (2) ta có m ≥ -1 thì hàm số y = 2x-3x+m đồng biến trên khoảng (1;+∞)
Bài 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = -2sinx-1sinx-m đồng biến trên khoảng (0;2)?
Lời giải:
Đặt sin x = t; x ∈ (0;2) => t ∈ (0, 1)
Ta có: y = -2sinx-1sinx-m đồng biến trên khoảng (0;2)
<=> y = -2t-1t-m đồng biến trên khoảng (0;1)
Để hàm số đồng biến <=> y’> 0 => 2m+1t-m2 > 0 => 2m + 1> 0 => m > -12 (1)
Xét điều kiện của mẫu: t – m ≠ 0
<=> m ≠ t mà t ∈ (0;1) => m ≠ (0;1)
=> m ≤ 0 hoặc m ≥ 1 (2)
Từ (1) và (2) ta có -12 ≤ m ≤ 0 hoặc m ≥ 1 thì hàm số y = -2sinx-1sinx-m đồng biến trên khoảng (0;2)?
Bài 6: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 + 6mx2 + 6x – 6 đồng biến trên R?
Lời giải:
Để hàm số đồng biến <=> y’ ≥ 0 <=> 3×2 + 12mx + 6 ≥ 0 với mọi x ∈ R
<=> {∆ ≤0 3>0 <=> 144 m2 – 4 . 3 . 6 ≤ 0 ( Áp dụng công thức b2 – 4.a.c ≤ 0)
<=> m2 ≤ 12 => -22 ≤ m≤ 22
-22 ≤ m≤ 22
Vậy -22 ≤ m≤ 22 thì hàm số y = x3 + 6mx2 + 6x – 6 đồng biến trên R.
Như vậy, ở bài viết này đã cung cấp một số kiến thức cũng như bài tập về dạng toán tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số… thường gặp trong đề thi THPTQG. Mong rằng những chia sẻ ở trên sẻ bổ ích cho bạn và chúc bạn làm bài thi đạt điểm cao
